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Python
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import numpy as np
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import matplotlib.pyplot as plt
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# a)
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# Durch ausprobieren, von unterschiedlichen a's
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# in die untere Funktion ergibt sich folgendes:
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# a anziehend:
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# [0.25, 0.5, 1.00, 1.50, 2.00, 2.50, 3.00]
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# a abstossend:
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# [3.25, 3.75, 4.0]
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# b)
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# Für die Aufgabe hat der Fixpunkt die bedeutung das die Anzahl Neuerkrankung gleich ist wie die der gesund
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# werdenden Kindern, somit bleibt die Anzahl von kranken Kindern nach einer gewissen Zeit konstant.
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# c)
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# Weil der Fipunkt immer gleich bleibt, kann man folgendes annehmen:
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# k(i) = k(i + 1) = k
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# Fixpunktgleichung: k = a * k * (1-k)
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# Aufgelöst nach a:
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# k = a * k * (1-k)
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# 1 = a * (1-k)
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# 1 / (1-k) = a |Aufgelöst nach a = alpha
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# Aufgelöst nach k:
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# 1 / (1-k) = a | *(1-k)
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# 1 = a * (1-k) | :a
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# 1 / a = 1 - k | +k
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# k + 1 / a = 1 | - (1 / a)
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# k = 1 - (1 / a) |Aufgelöst nach k
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# Damit gilt:
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# Für alle a ≤ 1 die Krankheit stirbt aus.
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# Für alle a > 1 die Krankheit bleibt erhalten.
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import numpy as np
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import matplotlib.pyplot as plt
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def fixpunkt(alpha):
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print('Alpha:', alpha)
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k = 0.1
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F = lambda x: alpha * x * (1 - x)
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y = np.array([])
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for j in range(100):
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y = np.append(y, k)
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k = F(k) # y-Werte, Fixpunktgleichung: k = a * k * (1-k)
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print(y)
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return y
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alphaList = np.array([0.25, 0.5, 1.00, 1.50, 2.00, 2.50, 3.00]) # alpha anziehend
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alphaList = np.append(alphaList, [3.25, 3.5, 3.75, 4.0]) # alpha abstossend
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k = np.arange(0.00, 4.00, pow(10, -2)) # x-Werte
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for currentAlpha in alphaList:
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y = fixpunkt(currentAlpha)
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plt.title('Alpha: ' + str(currentAlpha))
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plt.xlabel('alpha-Werte')
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plt.ylabel('y-Werte der Iterationsformel')
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plt.plot(y)
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plt.grid()
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plt.show()
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